선형대수 독학

벡터의 기본 연산(상수배, 덧셈) - 공돌이의 수학정리노트

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1. 벡터란?

1.1 벡터 = 크기 + 방향 ~기하적인 의미

1.2 순서를 고려하여 숫자를 나열한 리스트 ~하나의 데이터 포인트 라는 관점

1.3 (*수학) 벡터 공간(vector space)의 원소 ~대수적 관점(조건을 만족하면 어떠한 것도 벡터로 표현 가능하다.)

1.(1,2).1 벡터의 특징

-좌표계 변환에 대한 불변성 (좌표축, 차원 등에 대한 자유성)

1.3.1 벡터 공간?

(V,+,⋅) : 덧셈과 상수배를 만족하면 벡터

> 지금으로썬 너무나 모호하게 들리는 추상적인 정의이지만, 이러한 추상성이 벡터의 개념을 더 넓은 범위로 확장하고 이를 이용해 선형대수학의 세계에서 일어나는 많은 일들을 설명할 수 있게 된다.

> 기본적으로 상수배와 벡터 간의 합이 중요한 것은

이 두 연산이 잘 정의되는 것(entity)들은 선형성을 만족한다고 할 수 있기 때문이다.

선형성에 대해서는 차츰 더 다루겠지만, 쉽게 말하자면 선형성을 만족하는 개념들은 수학적으로 다루기가 쉽기 때문에 선형성을 만족하는 것들을 찾고 연구한다고 생각하자.

1.2.2 상수배,덧셈 성질을 통한 데이터(벡터) 변형

벡터는 숫자들을 순서대로 나열한 것’이라는 관점에서 상수배와 벡터간의 합이 중요할 수 있다.

ㄴ 단순한 평균에 대한 예시를 작성하였지만 추후에 배울 여러가지 데이터 처리 기법들(PCA, SVD, 선형 회귀, 독립성분분석 …)등의 수많은 기법들이 위와 같이 데이터를 벡터로 생각하여 데이터가 처리된다는 점을 강조하고 싶다.

1.3.2 벡터의 선형결합

그러면 이 단순한 상수배와 벡터간의 합인 선형 결합이 뭐가 그렇게 중요한걸까?

벡터 간의 선형 결합(linear combination)을 표현하기 위해 상수배와 벡터 간의 합은 필수적인 개념이다.

두 벡터간의 자유로이 덧셈과 상수배 할 수 있고

선형결합의 결과는 2차원 실수 벡터 공간 상에 있는 모든 벡터들에 대응되게 된다.

이러한 벡터 간의 선형 결합이 어떤 벡터공간 전체에 대응된다는 개념을 공간 생성(span)이라고 하며,

이는 행렬 곱과 연립방정식의 해를 얻는 과정에 대한 새로운 관점을 제시해줄 아주 중요한 단서가 된다.

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